大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關于指數(shù)運算知識公式大全的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

• 1、e指數(shù)的運算法則及公式是什么？

• 2、求指數(shù)和對數(shù)的所有運算公式...

• 3、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運算公式

• 4、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的轉換公式

一、e指數(shù)的運算法則及公式是什么？

e指數(shù)的運算法則及公式是：

（1）ln e = 1

（2）ln e^x = x

（3）ln e^e = e

（4）e^(ln x) = x

（5）de^x/dx = e^x

（6）d ln x / dx = 1/x

（7）∫e^x dx = e^x + c

（8）∫xe^xdx = xe^x - e^x + c

（9）e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+....

（10）d(e^x sinx)/dx = e^x sinx +e^xcosx=e^x(sinx+cosx)

e在數(shù)學上它是函數(shù)：lim(1+1/x)^x，X的X次方，當X趨近無窮時的極限。

人們在研究一些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究lim(1+1/x)^x，X的X次方，當X趨近無窮時的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個相反方向發(fā)展得來的共同形式，充分體現(xiàn)了宇宙的形成、發(fā)展及衰亡的最本質的東西。

有人說美在于事物的節(jié)奏，“自然律”也具有這種節(jié)奏；有人說美是動態(tài)的平衡、變化中的永恒，那么“自然律”也同樣是動態(tài)的平衡、變化中的永恒；有人說美在于事物的力動結構，那么“自然律”也同樣具有這種結構——如表的游絲、機械中的彈簧等等。

二、求指數(shù)和對數(shù)的所有運算公式...

①loga(mn)=logam+logan；

②loga(m/n)=logam－logan；

③對logam中m的n次方有=nlogam；

如果a=e^m，則m為數(shù)a的自然對數(shù)，即lna=m，e=2.718281828…為自然對數(shù)

的底。定義：

若a^n=b(a>0且a≠1)

則n=log(a)(b)

基本性質：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);

3、log(a)(m÷n)=log(a)(m)-log(a)(n);

4、log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

5、log(a^n)m=1/nlog(a)(m)

推導：

1、因為n=log(a)(b)，代入則a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

2、mn=m×n

由基本性質1(換掉m和n)

a^[log(a)(mn)]

=

a^[log(a)(m)]×a^[log(a)(n)]

由指數(shù)的性質

a^[log(a)(mn)]

=

a^{[log(a)(m)]

+

[log(a)(n)]}

又因為指數(shù)函數(shù)是單調函數(shù)，所以

log(a)(mn)

=

log(a)(m)

+

log(a)(n)

3、與（2）類似處理

m/n=m÷n

由基本性質1(換掉m和n)

a^[log(a)(m÷n)]

=

a^[log(a)(m)]÷a^[log(a)(n)]

由指數(shù)的性質

a^[log(a)(m÷n)]

=

a^{[log(a)(m)]

-

[log(a)(n)]}

又因為指數(shù)函數(shù)是單調函數(shù)，所以

log(a)(m÷n)

=

log(a)(m)

-

log(a)(n)

4、與（2）類似處理

m^n=m^n

由基本性質1(換掉m)

a^[log(a)(m^n)]

=

{a^[log(a)(m)]}^n

由指數(shù)的性質

a^[log(a)(m^n)]

=

a^{[log(a)(m)]*n}

又因為指數(shù)函數(shù)是單調函數(shù)，所以

log(a)(m^n)=nlog(a)(m)

基本性質4推廣

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推導如下：

由換底公式（換底公式見下面）[lnx是log(e)(x)，e稱作自然對數(shù)的底]

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

換底公式的推導：

設e^x=b^m,e^y=a^n

則log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性質4可得

log(a^n)(b^m)

=

[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]

=

(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由換底公式

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

三、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運算公式

1對數(shù)的概念

如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等于N，即ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：logaN=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

由定義知：

①負數(shù)和零沒有對數(shù);

②a>0且a≠1,N>0;

③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.

特別地，以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)，記作log10N,簡記為lgN；以無理數(shù)e(e=2.718

28…)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作logeN，簡記為lnN.

2對數(shù)式與指數(shù)式的互化

式子名稱abN指數(shù)式ab=N(底數(shù))(指數(shù))(冪值)對數(shù)式logaN=b(底數(shù))(對數(shù))(真數(shù))

3對數(shù)的運算性質

如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

(1)loga(MN)=logaM+logaN.

(2)logaMN=logaM-logaN.

(3)logaMn=nlogaM

(n∈R).

問：①公式中為什么要加條件a>0,a≠1，M>0,N>0?

②logaan=?

(n∈R)

③對數(shù)式與指數(shù)式的比較.(學生填表)

式子ab=NlogaN=b名稱a—冪的底數(shù)

b—

N—a—對數(shù)的底數(shù)

b—

N—運

算

性

質am·an=am+n

am÷an=

(am)n=

(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN

logaMN=

logaMn=(n∈R)

(a>0,a≠1,M>0,N>0)

難點疑點突破

對數(shù)定義中，為什么要規(guī)定a＞0,，且a≠1?

理由如下：

①若a＜0，則N的某些值不存在，例如log-28

②若a=0，則N≠0時b不存在；N=0時b不惟一，可以為任何正數(shù)

③若a=1時，則N≠1時b不存在；N=1時b也不惟一，可以為任何正數(shù)

為了避免上述各種情況，所以規(guī)定對數(shù)式的底是一個不等于1的正數(shù)

解題方法技巧

1

(1)將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：

①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573.

（2）將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：

①log1216=-4；②log2128=7；

③log327=x；④lg0.01=-2；

⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.

解析由對數(shù)定義：ab=NlogaN=b.

解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.

③log327=x.④log135.73=m.

解題方法

指數(shù)式與對數(shù)式的互化，必須并且只需緊緊抓住對數(shù)的定義：ab=NlogaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.

④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.

2

根據(jù)下列條件分別求x的值：

(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；

(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.

解析(1)對數(shù)式化指數(shù)式，得：x=8-23=?

(2)log5x=20=1.

x=?

(3)31+log32=3×3log32=?27=x?

(4)2+3=x-1=1x.

x=?

解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.

(2)log5x=20=1，x=51=5.

(3)logx27=3×3log32=3×2=6，

∴x6=27=33=(3)6,故x=3.

(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.

解題技巧

①轉化的思想是一個重要的數(shù)學思想，對數(shù)式與指數(shù)式有著密切的關系，在解決有關問題時，經常進行著兩種形式的相互轉化.

②熟練應用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3

已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.

解析思路一，已知對數(shù)式的值，要求指數(shù)式的值，可將對數(shù)式轉化為指數(shù)式，再利用指數(shù)式的運算求值；

思路二，對指數(shù)式的兩邊取同底的對數(shù)，再利用對數(shù)式的運算求值

解答解法一∵logax=4,logay=5,

∴x=a4,y=a5,

∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.

解法二對所求指數(shù)式兩邊取以a為底的對數(shù)得

logaA=loga(x512y-13)

=512logax-13logay=512×4-13×5=0,

∴A=1.

解題技巧

有時對數(shù)運算比指數(shù)運算來得方便，因此以指數(shù)形式出現(xiàn)的式子，可利用取對數(shù)的方法，把指數(shù)運算轉化為對數(shù)運算.4

設x,y均為正數(shù)，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范圍.

解析一個等式中含兩個變量x、y，對每一個確定的正數(shù)x由等式都有惟一的正數(shù)y與之對應，故y是x的函數(shù)，從而lg(xy)也是x的函數(shù).因此求lg(xy)的取值范圍實際上是一個求函數(shù)值域的問題，怎樣才能建立這種函數(shù)關系呢?能否對已知的等式兩邊也取對數(shù)?

解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,

兩邊取對數(shù)得：lgx+(1+lgx)lgy=0.

即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).

令lgx=t,

則lgy=-t1+t(t≠-1).

∴l(xiāng)g(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.

解題規(guī)律

對一個等式兩邊取對數(shù)是解決含有指數(shù)式和對數(shù)式問題的常用的有效方法；而變量替換可把較復雜問題轉化為較簡單的問題.設S=t21+t,得關于t的方程t2-St-S=0有實數(shù)解.

∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,

故lg(xy)的取值范圍是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).

5

求值：

(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；

(2)2log32-log3329+log38-52log53；

(3)設lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;

(4)求7lg20·12lg0.7的值.

解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2與lg5的關系式.

(2)轉化為log32的關系式.

(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式給出了a,b之間的關系，能否從中求出ab的值呢?

(4)7lg20·12lg0.7是兩個指數(shù)冪的乘積，且指數(shù)含常用對數(shù)，

設x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?

解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2

=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2

=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2

=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.

(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59

=2log32-5log32+2+3log32-9

=-7.

(3)由已知lgab=lg(a-2b)2

(a-2b>0),

∴ab=(a-2b)2,

即a2-5ab+4b2=0.

∴ab=1或ab=4，這里a>0,b>0.

若ab=1，則a-2b<0,

∴ab=1（

舍去）.

∴ab=4,

∴l(xiāng)og2a-log2b=log2ab=log24=2.

(4)設x=7lg20·12lg0.7,則

lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12

=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)

=lg7+lg2=14,

∴x=14,

故原式=14.

解題規(guī)律

①對數(shù)的運算法則是進行同底的對數(shù)運算的依據(jù)，對數(shù)的運算法則是等式兩邊都有意義的恒等式，運用法則進行對數(shù)變形時要注意對數(shù)的真數(shù)的范圍是否改變，為防止增根所以需要檢驗，如(3).

②對一個式子先求它的常用對數(shù)值，再求原式的值是代數(shù)運算中常用的方法，如(4).6

四、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的轉換公式

對數(shù)函數(shù)的計算公式：y=log(a)X，（其中a是常數(shù)，a>0且a不等于1）

指數(shù)函數(shù)的計算公式：y=a^x函數(shù)(a為常數(shù)且以a>0，a≠1)

冪函數(shù)的計算公式：y=x^a(a為常數(shù)）

拓展資料：

一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次冪等于N(N>0)，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作log aN=b,讀作以a為底N的對數(shù)，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。一般地，函數(shù)y=log(a)X，（其中a是常數(shù)，a>0且a不等于1）叫做對數(shù)函數(shù)，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=a^y。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

指數(shù)函數(shù)是數(shù)學中重要的函數(shù)。應用到值e上的這個函數(shù)寫為exp(x)。還可以等價的寫為e，這里的e是數(shù)學常數(shù)，就是自然對數(shù)的底數(shù)，近似等于 2.718281828，還稱為歐拉數(shù)。一般地，y=a^x函數(shù)(a為常數(shù)且以a>0，a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的定義域是 R 。

一般的，形如y=x^a(a為實數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。例如函數(shù)y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x時x≠0)等都是冪函數(shù)。當a取非零的有理數(shù)時是比較容易理解的，而對于a取無理數(shù)時，初學者則不大容易理解了。

因此，在初等函數(shù)里，我們不要求掌握指數(shù)為無理數(shù)的問題，只需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數(shù)連續(xù)性的極為深刻的知識。

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