大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來大家介紹下關(guān)于慣性指數(shù)和特征值關(guān)系的問題，以下是小編對此問題的歸納整理，讓我們一起來看看吧。

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本文目錄:

• 1、[補(bǔ)充]特征值、慣性指數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)型、規(guī)范型，等價、相似與合同

• 2、

• 3、

• 4、

一、[補(bǔ)充]特征值、慣性指數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)型、規(guī)范型，等價、相似與合同

能確定行列式、跡相等；不能確定秩相等，不能確定A～B（相似），不能確定A合同于B。

① 因?yàn)?|A|=λ1 λ2…λn，tr(A)=λ1+λ2+…+λn，所以 |A|=|B|，tr(A)=tr(B)。

② 有特征值 λ，不表示A可以～Λ。

③ 若 A～Λ，可推出 r(A)=非0的 λ 個數(shù)。

④ 合同需要實(shí)對稱矩陣（考研范圍中），λ 相等并不能保證。

【反例】：此例中，r(A)≠r(B)，且都不可相似對角化，且都不是實(shí)對稱矩陣（不可合同）。

實(shí)對稱矩陣一定可以對角化，所以可得A、B相似于同一個對角陣，即 A～Λ～B。

又因?yàn)閷?shí)對稱，所以逆＝轉(zhuǎn)置，也合同。

不唯一。如果是 求得的

那么 ，標(biāo)準(zhǔn)型結(jié)果也就不同。

標(biāo)準(zhǔn)型的項(xiàng)數(shù)是一定的，該項(xiàng)數(shù)就是非0系數(shù)，也就是正負(fù)慣性指數(shù)；正負(fù)慣性指數(shù)之和就是 二次型 的秩，也即 。

注：如果A可以相似對角化，那么秩就是非零特征值的個數(shù)（正負(fù)慣性指數(shù)之和）。

。

可逆線性變換不改變正負(fù)慣性指數(shù)，經(jīng)過變換得到的標(biāo)準(zhǔn)型，其對角線元素不一定是特征值！雖然二次型可以通過可逆線性變換（配方法），變成這樣的對角陣，但是標(biāo)準(zhǔn)型有很多個，也就是有很多這樣的對角陣；特征值是確定的，所以這些可逆線性變換得到的標(biāo)準(zhǔn)型，都不可以求出特征值。

特征值的求法：因?yàn)檫@些標(biāo)準(zhǔn)型與特征值無關(guān)，所以不能根據(jù)它們寫特征多項(xiàng)式，而應(yīng)該回到最初的二次型（實(shí)對稱矩陣A），用特征方程做。

經(jīng)典坑位：若兩個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形相同，則兩個二次型對應(yīng)的矩陣的特征值相同（ ）

正交變換就是在特征值的基礎(chǔ)上做的，其結(jié)果得到的標(biāo)準(zhǔn)型，也就是特征值拼出的對角陣。諸多可逆線性變換中，只有正交變換得到的標(biāo)準(zhǔn)型，對角線元素，才是特征值。

確定什么？ 可以確定慣性指數(shù)相同，也即二次型平方項(xiàng)的系數(shù)正、負(fù)個數(shù)相等，或是正特征值、負(fù)特征值的個數(shù)相同。

不能確定什么？ 不能確定特征值。

，是因?yàn)閼T性定理，決定了對于同一個二次型的不同標(biāo)準(zhǔn)型，正、負(fù)慣性指數(shù)p、q是一定的，而規(guī)范型是系數(shù)只有1、-1、0的情況。此時說唯一，是不考慮二次型的變量順序的，比如可以都規(guī)定寫的順序是1，-1，0。

同一個規(guī)范型可能有多個標(biāo)準(zhǔn)型。

同一個標(biāo)準(zhǔn)型，不可能對應(yīng)多個規(guī)范型。因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型的慣性指數(shù)是確定的。

兩個二次型（或者實(shí)對稱矩陣）合同的充要條件是有相同的正負(fù)慣性指數(shù)，或有相同的秩及正（負(fù)）慣性指數(shù)

即規(guī)范型相同對應(yīng)的不同矩陣是合同的。

（相似，合同條件要高）

相似必等價，等價未必相似。（矩陣相似是秩相等的充分非必要條件）

合同必等價，等價未必合同。（等價秩相同但未必是實(shí)對稱矩陣）

（使用正交變換得到的相似或合同時，相似與合同一致）

經(jīng)正交變換后，兩矩陣相似，則必合同。

經(jīng)正交變換后，兩矩陣合同，則必相似。

一般矩陣不適用。但實(shí)對稱矩陣，一定可以相似對角化，所以特征值相同時，A ~ B，此時也合同

若相似，其特征值相同，所以p、q相同，必可以合同。

若合同，保證了正、負(fù)系數(shù)的個數(shù)相同，此時雖然可以相似對角化，但各自具體的特征值不一定相同，所以推不出A、B相似。

【例】對角矩陣2E合同于單位矩陣 E，而 E 只能和 E 相似，顯然2E不相似于E（因?yàn)樘卣髦挡煌?/p>

注：普通矩陣沒有說相似一定合同，因?yàn)橹辉趯ΨQ矩陣的時候，我們才討論合同。

矩陣A可逆，它的秩為n，因?yàn)榫仃嚨闹扰c它是否有n個線性無關(guān)的特征向量是沒有關(guān)系的，所以不一定可相似對角化

比如說一個三階矩陣有三個不同的特征值2,1,0,則該矩陣一定可以對角化,有3個線性無關(guān)的特征向量,但它只有2個非零特征值,故對角矩陣的秩為2.而不是3

再比如一個三階矩陣有三個不同的特征值2,1,3,則該矩陣一定可以對角化,必有3個線性無關(guān)的特征向量,它有3個非零特征值,它的秩為3

線性方程組Ax=0有n個線性無關(guān)的解向量，矩陣A列滿秩,方程組唯一0解，要從線性方程組的角度取看是否可以相似對角化的問題

二、

三、

四、

以上就是關(guān)于慣性指數(shù)和特征值關(guān)系相關(guān)問題的回答。希望能幫到你，如有更多相關(guān)問題，您也可以聯(lián)系我們的客服進(jìn)行咨詢，客服也會為您講解更多精彩的知識和內(nèi)容。

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