大家好！今天讓創(chuàng)意嶺的小編來(lái)大家介紹下關(guān)于線性回歸模型計(jì)算的問(wèn)題，以下是小編對(duì)此問(wèn)題的歸納整理，讓我們一起來(lái)看看吧。

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本文目錄:

• 1、python多元線性回歸怎么計(jì)算

• 2、線性回歸方程公式b怎么求

• 3、線性回歸問(wèn)題怎么求回歸系數(shù)

• 4、最小二乘法求線性回歸方程中的系數(shù)a,b怎么求

一、python多元線性回歸怎么計(jì)算

1、什么是多元線性回歸模型？

當(dāng)y值的影響因素不唯一時(shí),采用多元線性回歸模型。

y =y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn

例如商品的銷(xiāo)售額可能不電視廣告投入,收音機(jī)廣告投入,報(bào)紙廣告投入有關(guān)系,可以有 sales =β0+β1*TV+β2* radio+β3*newspaper.

2、使用pandas來(lái)讀取數(shù)據(jù)

pandas 是一個(gè)用于數(shù)據(jù)探索、數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)處理的python庫(kù)

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• import pandas as pd

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• <pre name="code" class="python"># read csv file directly from a URL and save the results

• data = pd.read_csv('/home/lulei/Advertising.csv')

• # display the first 5 rows

• data.head()

• 這里的Advertising.csv是來(lái)自Advertising.csv。大家可以自己下載。

上面代碼的運(yùn)行結(jié)果：

•     TV  Radio  Newspaper  Sales
• 0  230.1   37.8       69.2   22.1
• 1   44.5   39.3       45.1   10.4
• 2   17.2   45.9       69.3    9.3
• 3  151.5   41.3       58.5   18.5
• 4  180.8   10.8       58.4   12.9

上面顯示的結(jié)果類(lèi)似一個(gè)電子表格，這個(gè)結(jié)構(gòu)稱(chēng)為Pandas的數(shù)據(jù)幀(data frame)，類(lèi)型全稱(chēng)：pandas.core.frame.DataFrame.

pandas的兩個(gè)主要數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：Series和DataFrame：

• Series類(lèi)似于一維數(shù)組，它有一組數(shù)據(jù)以及一組與之相關(guān)的數(shù)據(jù)標(biāo)簽(即索引)組成。

• DataFrame是一個(gè)表格型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它含有一組有序的列，每列可以是不同的值類(lèi)型。DataFrame既有行索引也有列索引，它可以被看做由Series組成的字典。

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• # display the last 5 rows

• data.tail()

• 只顯示結(jié)果的末尾5行
•        TV  Radio  Newspaper  Sales
• 195   38.2    3.7       13.8    7.6
• 196   94.2    4.9        8.1    9.7
• 197  177.0    9.3        6.4   12.8
• 198  283.6   42.0       66.2   25.5
• 199  232.1    8.6        8.7   13.4

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• # check the shape of the DataFrame(rows, colums)

• data.shape

• 查看DataFrame的形狀,注意第一列的叫索引，和數(shù)據(jù)庫(kù)某個(gè)表中的第一列類(lèi)似。

(200,4) 

3、分析數(shù)據(jù)

特征：

• TV：對(duì)于一個(gè)給定市場(chǎng)中單一產(chǎn)品，用于電視上的廣告費(fèi)用（以千為單位）

• Radio：在廣播媒體上投資的廣告費(fèi)用

• Newspaper：用于報(bào)紙媒體的廣告費(fèi)用

響應(yīng)：

• Sales：對(duì)應(yīng)產(chǎn)品的銷(xiāo)量

在這個(gè)案例中，我們通過(guò)不同的廣告投入，預(yù)測(cè)產(chǎn)品銷(xiāo)量。因?yàn)轫憫?yīng)變量是一個(gè)連續(xù)的值，所以這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)回歸問(wèn)題。數(shù)據(jù)集一共有200個(gè)觀測(cè)值，每一組觀測(cè)對(duì)應(yīng)一個(gè)市場(chǎng)的情況。

注意：這里推薦使用的是seaborn包。網(wǎng)上說(shuō)這個(gè)包的數(shù)據(jù)可視化效果比較好看。其實(shí)seaborn也應(yīng)該屬于matplotlib的內(nèi)部包。只是需要再次的單獨(dú)安裝。

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• import seaborn as sns

• import matplotlib.pyplot as plt

• # visualize the relationship between the features and the response using scatterplots

• sns.pairplot(data, x_vars=['TV','Radio','Newspaper'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8)

• plt.show()#注意必須加上這一句，否則無(wú)法顯示。

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• 這里選擇TV、Radio、Newspaper 作為特征，Sales作為觀測(cè)值

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• 返回的結(jié)果：

• seaborn的pairplot函數(shù)繪制X的每一維度和對(duì)應(yīng)Y的散點(diǎn)圖。通過(guò)設(shè)置size和aspect參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)顯示的大小和比例?？梢詮膱D中看出，TV特征和銷(xiāo)量是有比較強(qiáng)的線性關(guān)系的，而Radio和Sales線性關(guān)系弱一些，Newspaper和Sales線性關(guān)系更弱。通過(guò)加入一個(gè)參數(shù)kind='reg'，seaborn可以添加一條最佳擬合直線和95%的置信帶。

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• sns.pairplot(data, x_vars=['TV','Radio','Newspaper'], y_vars='Sales', size=7, aspect=0.8, kind='reg')

• plt.show()

• 結(jié)果顯示如下：



4、線性回歸模型

優(yōu)點(diǎn)：快速；沒(méi)有調(diào)節(jié)參數(shù)；可輕易解釋?zhuān)豢衫斫狻?/p>

缺點(diǎn)：相比其他復(fù)雜一些的模型，其預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率不是太高，因?yàn)樗僭O(shè)特征和響應(yīng)之間存在確定的線性關(guān)系，這種假設(shè)對(duì)于非線性的關(guān)系，線性回歸模型顯然不能很好的對(duì)這種數(shù)據(jù)建模。

線性模型表達(dá)式： y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn 其中

• y是響應(yīng)

• β0是截距

• β1是x1的系數(shù)，以此類(lèi)推

在這個(gè)案例中： y=β0+β1∗TV+β2∗Radio+...+βn∗Newspaper

• (1)、使用pandas來(lái)構(gòu)建X(特征向量)和y(標(biāo)簽列)

scikit-learn要求X是一個(gè)特征矩陣，y是一個(gè)NumPy向量。

pandas構(gòu)建在NumPy之上。

因此，X可以是pandas的DataFrame，y可以是pandas的Series，scikit-learn可以理解這種結(jié)構(gòu)。

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• #create a python list of feature names

• feature_cols = ['TV', 'Radio', 'Newspaper']

• # use the list to select a subset of the original DataFrame

• X = data[feature_cols]

• # equivalent command to do this in one line

• X = data[['TV', 'Radio', 'Newspaper']]

• # print the first 5 rows

• print X.head()

• # check the type and shape of X

• print type(X)

• print X.shape

• 輸出結(jié)果如下：
•      TV  Radio  Newspaper
• 0  230.1   37.8       69.2
• 1   44.5   39.3       45.1
• 2   17.2   45.9       69.3
• 3  151.5   41.3       58.5
• 4  180.8   10.8       58.4
• <class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
• (200, 3)

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• # select a Series from the DataFrame

• y = data['Sales']

• # equivalent command that works if there are no spaces in the column name

• y = data.Sales

• # print the first 5 values

• print y.head()

• 輸出的結(jié)果如下：
• 0    22.1
• 1    10.4
• 2     9.3
• 3    18.5
• 4    12.9
• Name: Sales

（2）、構(gòu)建訓(xùn)練集與測(cè)試集

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• <pre name="code" class="python"><span style="font-size:14px;">##構(gòu)造訓(xùn)練集和測(cè)試集

• from sklearn.cross_validation import train_test_split  #這里是引用了交叉驗(yàn)證

• X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1)

• #default split is 75% for training and 25% for testing

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• print X_train.shape

• print y_train.shape

• print X_test.shape

• print y_test.shape

• 輸出結(jié)果如下：
• (150, 3)
• (150,)
• (50, 3)
• (50,)

注：上面的結(jié)果是由train_test_spilit()得到的，但是我不知道為什么我的版本的sklearn包中居然報(bào)錯(cuò)：

• ImportError                               Traceback (most recent call last)<ipython-input-182-3eee51fcba5a> in <module>()      1 ###構(gòu)造訓(xùn)練集和測(cè)試集----> 2 from sklearn.cross_validation import train_test_split      3 #import sklearn.cross_validation      4 X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1)      5 # default split is 75% for training and 25% for testingImportError: cannot import name train_test_split

處理方法：1、我后來(lái)重新安裝sklearn包。再一次調(diào)用時(shí)就沒(méi)有錯(cuò)誤了。

2、自己寫(xiě)函數(shù)來(lái)認(rèn)為的隨機(jī)構(gòu)造訓(xùn)練集和測(cè)試集。(這個(gè)代碼我會(huì)在最后附上。)

• （3）sklearn的線性回歸

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• from sklearn.linear_model import LinearRegression

• linreg = LinearRegression()

• model=linreg.fit(X_train, y_train)

• print model

• print linreg.intercept_

• print linreg.coef_

• 輸出的結(jié)果如下：
• LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, normalize=False)
• 2.66816623043
• [ 0.04641001  0.19272538 -0.00349015]

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• # pair the feature names with the coefficients

• zip(feature_cols, linreg.coef_)

• 輸出如下：
• [('TV', 0.046410010869663267),
• ('Radio', 0.19272538367491721),
• ('Newspaper', -0.0034901506098328305)]
• y=2.668+0.0464∗TV+0.192∗Radio-0.00349∗Newspaper
• 如何解釋各個(gè)特征對(duì)應(yīng)的系數(shù)的意義？

對(duì)于給定了Radio和Newspaper的廣告投入，如果在TV廣告上每多投入1個(gè)單位，對(duì)應(yīng)銷(xiāo)量將增加0.0466個(gè)單位。就是加入其它兩個(gè)媒體投入固定，在TV廣告上每增加1000美元（因?yàn)閱挝皇?000美元），銷(xiāo)量將增加46.6（因?yàn)閱挝皇?000）。但是大家注意這里的newspaper的系數(shù)居然是負(fù)數(shù)，所以我們可以考慮不使用newspaper這個(gè)特征。這是后話，后面會(huì)提到的。

（4）、預(yù)測(cè)

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• y_pred = linreg.predict(X_test)

• print y_pred

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• print type(y_pred)

• 輸出結(jié)果如下：
• [ 14.58678373   7.92397999  16.9497993   19.35791038   7.36360284
•   7.35359269  16.08342325   9.16533046  20.35507374  12.63160058
•  22.83356472   9.66291461   4.18055603  13.70368584  11.4533557
•   4.16940565  10.31271413  23.06786868  17.80464565  14.53070132
•  15.19656684  14.22969609   7.54691167  13.47210324  15.00625898
•  19.28532444  20.7319878   19.70408833  18.21640853   8.50112687
•   9.8493781    9.51425763   9.73270043  18.13782015  15.41731544
•   5.07416787  12.20575251  14.05507493  10.6699926    7.16006245
•  11.80728836  24.79748121  10.40809168  24.05228404  18.44737314
•  20.80572631   9.45424805  17.00481708   5.78634105   5.10594849]
• <type 'numpy.ndarray'>

5、回歸問(wèn)題的評(píng)價(jià)測(cè)度

(1) 評(píng)價(jià)測(cè)度

對(duì)于分類(lèi)問(wèn)題，評(píng)價(jià)測(cè)度是準(zhǔn)確率，但這種方法不適用于回歸問(wèn)題。我們使用針對(duì)連續(xù)數(shù)值的評(píng)價(jià)測(cè)度(evaluation metrics)。

這里介紹3種常用的針對(duì)線性回歸的測(cè)度。

1)平均絕對(duì)誤差(Mean Absolute Error, MAE)

(2)均方誤差(Mean Squared Error, MSE)

(3)均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)

這里我使用RMES。

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• <pre name="code" class="python">#計(jì)算Sales預(yù)測(cè)的RMSE

• print type(y_pred),type(y_test)

• print len(y_pred),len(y_test)

• print y_pred.shape,y_test.shape

• from sklearn import metrics

• import numpy as np

• sum_mean=0

• for i in range(len(y_pred)):

• sum_mean+=(y_pred[i]-y_test.values[i])**2

• sum_erro=np.sqrt(sum_mean/50)

• # calculate RMSE by hand

• print "RMSE by hand:",sum_erro

• 最后的結(jié)果如下：
• <type 'numpy.ndarray'> <class 'pandas.core.series.Series'>
• 50 50
• (50,) (50,)
• RMSE by hand: 1.42998147691
• （2）做ROC曲線

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• import matplotlib.pyplot as plt

• plt.figure()

• plt.plot(range(len(y_pred)),y_pred,'b',label="predict")

• plt.plot(range(len(y_pred)),y_test,'r',label="test")

• plt.legend(loc="upper right") #顯示圖中的標(biāo)簽

• plt.xlabel("the number of sales")

• plt.ylabel('value of sales')

• plt.show()

• 顯示結(jié)果如下：（紅色的線是真實(shí)的值曲線，藍(lán)色的是預(yù)測(cè)值曲線）



直到這里整個(gè)的一次多元線性回歸的預(yù)測(cè)就結(jié)束了。

6、改進(jìn)特征的選擇

在之前展示的數(shù)據(jù)中，我們看到Newspaper和銷(xiāo)量之間的線性關(guān)系竟是負(fù)關(guān)系（不用驚訝，這是隨機(jī)特征抽樣的結(jié)果。換一批抽樣的數(shù)據(jù)就可能為正了），現(xiàn)在我們移除這個(gè)特征，看看線性回歸預(yù)測(cè)的結(jié)果的RMSE如何？

依然使用我上面的代碼，但只需修改下面代碼中的一句即可：

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• #create a python list of feature names

• feature_cols = ['TV', 'Radio', 'Newspaper']

• # use the list to select a subset of the original DataFrame

• X = data[feature_cols]

• # equivalent command to do this in one line

• #X = data[['TV', 'Radio', 'Newspaper']]#只需修改這里即可<pre name="code" class="python" style="font-size: 15px; line-height: 35px;">X = data[['TV', 'Radio']]  #去掉newspaper其他的代碼不變

• # print the first 5 rowsprint X.head()# check the type and shape of Xprint type(X)print X.shape

最后的到的系數(shù)與測(cè)度如下：

LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, normalize=False)

• 2.81843904823
• [ 0.04588771  0.18721008]
• RMSE by hand: 1.28208957507
• 然后再次使用ROC曲線來(lái)觀測(cè)曲線的整體情況。我們?cè)趯ewspaper這個(gè)特征移除之后，得到RMSE變小了，說(shuō)明Newspaper特征可能不適合作為預(yù)測(cè)銷(xiāo)量的特征，于是，我們得到了新的模型。我們還可以通過(guò)不同的特征組合得到新的模型，看看最終的誤差是如何的。

備注：

• 之前我提到了這種錯(cuò)誤：

注：上面的結(jié)果是由train_test_spilit()得到的，但是我不知道為什么我的版本的sklearn包中居然報(bào)錯(cuò)：

• ImportError                               Traceback (most recent call last)<ipython-input-182-3eee51fcba5a> in <module>()      1 ###構(gòu)造訓(xùn)練集和測(cè)試集----> 2 from sklearn.cross_validation import train_test_split      3 #import sklearn.cross_validation      4 X_train,X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=1)      5 # default split is 75% for training and 25% for testingImportError: cannot import name train_test_split

處理方法：1、我后來(lái)重新安裝sklearn包。再一次調(diào)用時(shí)就沒(méi)有錯(cuò)誤了。

2、自己寫(xiě)函數(shù)來(lái)認(rèn)為的隨機(jī)構(gòu)造訓(xùn)練集和測(cè)試集。(這個(gè)代碼我會(huì)在最后附上。)

• 這里我給出我自己寫(xiě)的函數(shù)：

[python] view plain copy

• import random

[python] view plain copy

• <span style="font-family:microsoft yahei;">######自己寫(xiě)一個(gè)隨機(jī)分配數(shù)的函數(shù)，分成兩份，并將數(shù)值一次存儲(chǔ)在對(duì)應(yīng)的list中##########

• def train_test_split(ylabel, random_state=1):

• import random

• index=random.sample(range(len(ylabel)),50*random_state)

• list_train=[]

• list_test=[]

• i=0

• for s in range(len(ylabel)):

• if i in index:

• list_test.append(i)

• else:

• list_train.append(i)

• i+=1

• return list_train,list_test

• ###############對(duì)特征進(jìn)行分割#############################

• feature_cols = ['TV', 'Radio','Newspaper']

• X1 = data[feature_cols]

二、線性回歸方程公式b怎么求

第一：用所給樣本求出兩個(gè)相關(guān)變量的(算術(shù)）平均值：

x_=(x1+x2+x3+...+xn)/n

y_=(y1+y2+y3+...+yn)/n 

第二：分別計(jì)算分子和分母：（兩個(gè)公式任選其一）

分子=(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)-nx_Y_

分母=(x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)-n*x_^2

第三：計(jì)算  b   ：   b=分子  /  分母

用最小二乘法估計(jì)參數(shù)b,設(shè)服從正態(tài)分布,分別求對(duì)a、b的偏導(dǎo)數(shù)并令它們等于零，得方程組解為

其中 ，且為觀測(cè)值的樣本方差.線性方程稱(chēng)為關(guān)于的線性回歸方程,稱(chēng)為回歸系數(shù),對(duì)應(yīng)的直線稱(chēng)為回歸直線.順便指出,將來(lái)還需用到,其中為觀測(cè)值的樣本方差.

先求x,y的平均值X,Y

再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)

后把x,y的平均數(shù)X，Y代入a=Y-bX

求出a并代入總的公式y(tǒng)=bx+a得到線性回歸方程

(X為xi的平均數(shù)，Y為yi的平均數(shù))

擴(kuò)展資料

分析按照自變量和因變量之間的關(guān)系類(lèi)型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。如果在回歸分析中，只包括一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱(chēng)為一元線性回歸分析。

如果回歸分析中包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱(chēng)為多元線性回歸分析。

參考資料：線性回歸方程的百度百科

三、線性回歸問(wèn)題怎么求回歸系數(shù)

y=bx+a

例如：

y=3x+1

因?yàn)椴恢纗前面的系數(shù)，和常數(shù)項(xiàng)所以設(shè)成a，b，a和b通常是需要求的。

先求x，y的平均值X，Y

再用公式代入求解：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)

后把x，y的平均數(shù)X，Y代入a=Y-bX

求出a并代入總的公式y(tǒng)=bx+a得到線性回歸方程。

擴(kuò)展資料：

在線性回歸中，數(shù)據(jù)使用線性預(yù)測(cè)函數(shù)來(lái)建模，并且未知的模型參數(shù)也是通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)。這些模型被叫做線性模型。最常用的線性回歸建模是給定X值的y的條件均值是X的仿射函數(shù)。

不太一般的情況，線性回歸模型可以是一個(gè)中位數(shù)或一些其他的給定X的條件下y的條件分布的分位數(shù)作為X的線性函數(shù)表示。像所有形式的回歸分析一樣，線性回歸也把焦點(diǎn)放在給定X值的y的條件概率分布，而不是X和y的聯(lián)合概率分布。

四、最小二乘法求線性回歸方程中的系數(shù)a,b怎么求

用最小二乘法求回歸直線方程中的a,b有下面的公式：

最小二乘法：總離差不能用n個(gè)離差之和來(lái)表示，通常是用離差的平方和，即作為總離差，并使之達(dá)到最小，這樣回歸直線就是所有直線中Q取最小值的那一條，這種使“離差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法：

由于絕對(duì)值使得計(jì)算不變，在實(shí)際應(yīng)用中人們更喜歡用：Q=（y1-bx1-a）²+（y2-bx-a²）+。。。+（yn-bxn-a）²

這樣，問(wèn)題就歸結(jié)于：當(dāng)a，b取什么值時(shí)Q最小，即到點(diǎn)直線y=bx+a的“整體距離”最小。

擴(kuò)展資料：

回歸分析的最初目的是估計(jì)模型的參數(shù)以便達(dá)到對(duì)數(shù)據(jù)的最佳擬合。在決定一個(gè)最佳擬合的不同標(biāo)準(zhǔn)之中，最小二乘法是非常優(yōu)越的。這種估計(jì)可以表示為：

1)樣本是在母體之中隨機(jī)抽取出來(lái)的。

2)因變量Y在實(shí)直線上是連續(xù)的，

3)殘差項(xiàng)是獨(dú)立同分布的，也就是說(shuō)，殘差是獨(dú)立隨機(jī)的，且服從高斯分布。

這些假設(shè)意味著殘差項(xiàng)不依賴(lài)自變量的值，所以  和自變量X（預(yù)測(cè)變量）之間是相互獨(dú)立的。在這些假設(shè)下，建立一個(gè)顯示線性回歸作為條件預(yù)期模型的簡(jiǎn)單線性回歸方程，可以表示為：

給一個(gè)隨機(jī)樣本  ，一個(gè)線性回歸模型假設(shè)回歸子  和回歸量  之間的關(guān)系是除了X的影響以外，還有其他的變數(shù)存在。我們加入一個(gè)誤差項(xiàng)  （也是一個(gè)隨機(jī)變量）來(lái)捕獲除了  之外任何對(duì) 的影響。

參考資料：百度百科——線性回歸方程

以上就是關(guān)于線性回歸模型計(jì)算相關(guān)問(wèn)題的回答。希望能幫到你，如有更多相關(guān)問(wèn)題，您也可以聯(lián)系我們的客服進(jìn)行咨詢，客服也會(huì)為您講解更多精彩的知識(shí)和內(nèi)容。

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